Tangent¶

Tangent Basis¶

MatrixMax<double, 3, 2> ipc::point_point_tangent_basis(
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& p0,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& p1);¶

Compute a basis for the space tangent to the point-point pair.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &p0¶

First point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &p1¶

Second point

Returns:¶

A 3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

MatrixMax<double, 3, 2> ipc::point_edge_tangent_basis(
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& p,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& e0,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& e1);¶

Compute a basis for the space tangent to the point-edge pair.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &p¶

Point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &e0¶

First edge point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &e1¶

Second edge point

Returns:¶

A 3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

Eigen::Matrix<double, 3, 2> ipc::edge_edge_tangent_basis(
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& ea0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& ea1,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& eb0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& eb1);¶

Compute a basis for the space tangent to the edge-edge pair.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &ea0¶

First point of the first edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &ea1¶

Second point of the first edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &eb0¶

First point of the second edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &eb1¶

Second point of the second edge

Returns:¶

A 3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

Eigen::Matrix<double, 3, 2> ipc::point_triangle_tangent_basis(
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& p,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t1,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t2);¶

Compute a basis for the space tangent to the point-triangle pair.

\[ \begin{bmatrix} \frac{t_1 - t_0}{\|t_1 - t_0\|} & \frac{((t_1 - t_0)\times(t_2 - t_0)) \times(t_1 - t_0)}{\|((t_1 - t_0)\times(t_2 - t_0))\times(t_1 - t_0)\|} \end{bmatrix} \]

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &p¶

Point

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t0¶

Triangle’s first vertex

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t1¶

Triangle’s second vertex

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t2¶

Triangle’s third vertex

Returns:¶

A 3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

Tangent Basis Jacobians¶

MatrixMax<double, 18, 2> ipc::point_point_tangent_basis_jacobian(
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& p0,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& p1);¶

Compute the Jacobian of the tangent basis for the point-point pair.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &p0¶

First point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &p1¶

Second point

Returns:¶

A 6*3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

MatrixMax<double, 27, 2> ipc::point_edge_tangent_basis_jacobian(
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& p,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& e0,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& e1);¶

Compute the Jacobian of the tangent basis for the point-edge pair.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &p¶

Point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &e0¶

First edge point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &e1¶

Second edge point

Returns:¶

A 9*3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

Eigen::Matrix<double, 36, 2> ipc::edge_edge_tangent_basis_jacobian(
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& ea0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& ea1,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& eb0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& eb1);¶

Compute the Jacobian of the tangent basis for the edge-edge pair.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &ea0¶

First point of the first edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &ea1¶

Second point of the first edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &eb0¶

First point of the second edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &eb1¶

Second point of the second edge

Returns:¶

A 12*3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

Eigen::Matrix<double, 36, 2>
ipc::point_triangle_tangent_basis_jacobian(
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& p,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t1,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t2);¶

Compute the Jacobian of the tangent basis for the point-triangle pair.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &p¶

Point

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t0¶

Triangle’s first vertex

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t1¶

Triangle’s second vertex

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t2¶

Triangle’s third vertex

Returns:¶

A 12*3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

Relative Velocity¶

VectorMax3d ipc::point_point_relative_velocity(
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& dp0,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& dp1);¶

Compute the relative velocity of two points.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &dp0¶

Velocity of the first point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &dp1¶

Velocity of the second point

Returns:¶

The relative velocity of the two points

VectorMax3d ipc::point_edge_relative_velocity(
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& dp,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& de0,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& de1, const double alpha);¶

Compute the relative velocity of a point and an edge.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &dp¶

Velocity of the point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &de0¶

Velocity of the first endpoint of the edge

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &de1¶

Velocity of the second endpoint of the edge

const double alpha¶

Parametric coordinate of the closest point on the edge

Returns:¶

The relative velocity of the point and the edge

Eigen::Vector3d ipc::edge_edge_relative_velocity(
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& dea0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& dea1,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& deb0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& deb1,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d>& coords);¶

Compute the relative velocity of the edges.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &dea0¶

Velocity of the first endpoint of the first edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &dea1¶

Velocity of the second endpoint of the first edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &deb0¶

Velocity of the first endpoint of the second edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &deb1¶

Velocity of the second endpoint of the second edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d> &coords¶

Two parametric coordinates of the closest points on the edges

Returns:¶

The relative velocity of the edges

Eigen::Vector3d ipc::point_triangle_relative_velocity(
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& dp,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& dt0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& dt1,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& dt2,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d>& coords);¶

Compute the relative velocity of the point to the triangle.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &dp¶

Velocity of the point

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &dt0¶

Velocity of the first vertex of the triangle

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &dt1¶

Velocity of the second vertex of the triangle

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &dt2¶

Velocity of the third vertex of the triangle

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d> &coords¶

Baricentric coordinates of the closest point on the triangle

Returns:¶

The relative velocity of the point to the triangle

Relative Velocity as Multiplier Matricies¶

MatrixMax<double, 3, 6> ipc::point_point_relative_velocity_matrix(
    const int dim);¶

Compute the point-point relative velocity premultiplier matrix.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

Returns:¶

The relative velocity premultiplier matrix

MatrixMax<double, 3, 9> ipc::point_edge_relative_velocity_matrix(
    const int dim, const double alpha);¶

Compute the point-edge relative velocity premultiplier matrix.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

const double alpha¶

Parametric coordinate of the closest point on the edge

Returns:¶

The relative velocity premultiplier matrix

MatrixMax<double, 3, 12> ipc::edge_edge_relative_velocity_matrix(
    const int dim, const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d>& coords);¶

Compute the edge-edge relative velocity matrix.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d> &coords¶

Two parametric coordinates of the closest points on the edges

Returns:¶

The relative velocity matrix

MatrixMax<double, 3, 12>
ipc::point_triangle_relative_velocity_matrix(
    const int dim, const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d>& coords);¶

Compute the point-triangle relative velocity matrix.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d> &coords¶

Baricentric coordinates of the closest point on the triangle

Returns:¶

The relative velocity matrix

Relative Velocity Matrix Jacobians¶

MatrixMax<double, 3, 6>
ipc::point_point_relative_velocity_matrix_jacobian(const int dim);¶

Compute the Jacobian of the relative velocity premultiplier matrix.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

Returns:¶

The Jacobian of the relative velocity premultiplier matrix

MatrixMax<double, 3, 9>
ipc::point_edge_relative_velocity_matrix_jacobian(
    const int dim, const double alpha);¶

Compute the Jacobian of the relative velocity premultiplier matrix.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

const double alpha¶

Parametric coordinate of the closest point on the edge

Returns:¶

The Jacobian of the relative velocity premultiplier matrix

MatrixMax<double, 6, 12>
ipc::edge_edge_relative_velocity_matrix_jacobian(
    const int dim, const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d>& coords);¶

Compute the Jacobian of the edge-edge relative velocity matrix.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d> &coords¶

Two parametric coordinates of the closest points on the edges

Returns:¶

The Jacobian of the relative velocity matrix

MatrixMax<double, 6, 12>
ipc::point_triangle_relative_velocity_matrix_jacobian(
    const int dim, const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d>& coords);¶

Compute the Jacobian of the point-triangle relative velocity matrix.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector2d> &coords¶

Baricentric coordinates of the closest point on the triangle

Returns:¶

The Jacobian of the relative velocity matrix

Closet Points¶

double ipc::point_edge_closest_point(
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& p,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& e0,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& e1);¶

Compute the baricentric coordinate of the closest point on the edge.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &p¶

Point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &e0¶

First edge point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &e1¶

Second edge point

Returns:¶

barycentric coordinates of the closest point

Eigen::Vector2d ipc::edge_edge_closest_point(
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& ea0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& ea1,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& eb0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& eb1);¶

Compute the barycentric coordinates of the closest points between two edges.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &ea0¶

First point of the first edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &ea1¶

Second point of the first edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &eb0¶

First point of the second edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &eb1¶

Second point of the second edge

Returns:¶

Barycentric coordinates of the closest points

Eigen::Vector2d ipc::point_triangle_closest_point(
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& p,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t1,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t2);¶

Compute the barycentric coordinates of the closest point on the triangle.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &p¶

Point

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t0¶

Triangle’s first vertex

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t1¶

Triangle’s second vertex

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t2¶

Triangle’s third vertex

Returns:¶

Barycentric coordinates of the closest point

Closet Points Jacobians¶

VectorMax9d ipc::point_edge_closest_point_jacobian(
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& p,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& e0,
    const Eigen::Ref<const VectorMax3d>& e1);¶

Compute the Jacobian of the closest point on the edge.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &p¶

Point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &e0¶

First edge point

const Eigen::Ref<const VectorMax3d> &e1¶

Second edge point

Returns:¶

Jacobian of the closest point

Eigen::Matrix<double, 2, 12> ipc::edge_edge_closest_point_jacobian(
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& ea0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& ea1,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& eb0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& eb1);¶

Compute the Jacobian of the closest points between two edges.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &ea0¶

First point of the first edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &ea1¶

Second point of the first edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &eb0¶

First point of the second edge

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &eb1¶

Second point of the second edge

Returns:¶

Jacobian of the closest points

Eigen::Matrix<double, 2, 12>
ipc::point_triangle_closest_point_jacobian(
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& p,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t0,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t1,
    const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d>& t2);¶

Compute the Jacobian of the closest point on the triangle.

Parameters:¶

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &p¶

Point

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t0¶

Triangle’s first vertex

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t1¶

Triangle’s second vertex

const Eigen::Ref<const Eigen::Vector3d> &t2¶

Triangle’s third vertex

Returns:¶

Jacobian of the closest point