Tangent¶

Tangent Basis¶

MatrixMax<double, 3, 2> ipc::point_point_tangent_basis(
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p0,
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p1);¶

Compute a basis for the space tangent to the point-point pair.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p0¶

First point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p1¶

Second point

Returns:¶

A 3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

MatrixMax<double, 3, 2> ipc::point_edge_tangent_basis(
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p, Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e0,
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e1);¶

Compute a basis for the space tangent to the point-edge pair.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p¶

Point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e0¶

First edge point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e1¶

Second edge point

Returns:¶

A 3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

Eigen::Matrix<double, 3, 2> ipc::edge_edge_tangent_basis(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea1,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb1);¶

Compute a basis for the space tangent to the edge-edge pair.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea0¶

First point of the first edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea1¶

Second point of the first edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb0¶

First point of the second edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb1¶

Second point of the second edge

Returns:¶

A 3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

Eigen::Matrix<double, 3, 2> ipc::point_triangle_tangent_basis(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> p,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t1,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t2);¶

Compute a basis for the space tangent to the point-triangle pair.

\[ \begin{bmatrix} \frac{t_1 - t_0}{\|t_1 - t_0\|} & \frac{((t_1 - t_0)\times(t_2 - t_0)) \times(t_1 - t_0)}{\|((t_1 - t_0)\times(t_2 - t_0))\times(t_1 - t_0)\|} \end{bmatrix} \]

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> p¶

Point

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t0¶

Triangle’s first vertex

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t1¶

Triangle’s second vertex

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t2¶

Triangle’s third vertex

Returns:¶

A 3x2 matrix whose columns are the basis vectors.

Tangent Basis Jacobians¶

MatrixMax<double, 6, 6> ipc::point_point_tangent_basis_jacobian(
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p0,
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p1);¶

Compute the Jacobian of the tangent basis for the point-point pair.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p0¶

First point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p1¶

Second point

Returns:¶

A (3*2)x6 matrix whose columns are the basis vectors.

MatrixMax<double, 6, 9> ipc::point_edge_tangent_basis_jacobian(
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p, Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e0,
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e1);¶

Compute the Jacobian of the tangent basis for the point-edge pair.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p¶

Point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e0¶

First edge point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e1¶

Second edge point

Returns:¶

A (3*2)x9 matrix whose columns are the basis vectors.

Eigen::Matrix<double, 6, 12> ipc::edge_edge_tangent_basis_jacobian(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea1,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb1);¶

Compute the Jacobian of the tangent basis for the edge-edge pair.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea0¶

First point of the first edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea1¶

Second point of the first edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb0¶

First point of the second edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb1¶

Second point of the second edge

Returns:¶

A (3*2)x12 matrix whose columns are the basis vectors.

Eigen::Matrix<double, 6, 12>
ipc::point_triangle_tangent_basis_jacobian(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> p,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t1,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t2);¶

Compute the Jacobian of the tangent basis for the point-triangle pair.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> p¶

Point

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t0¶

Triangle’s first vertex

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t1¶

Triangle’s second vertex

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t2¶

Triangle’s third vertex

Returns:¶

A (3*2)x12 matrix whose columns are the basis vectors.

Relative Velocity¶

VectorMax3d ipc::point_point_relative_velocity(
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> dp0,
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> dp1);¶

Compute the relative velocity of two points.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> dp0¶

Velocity of the first point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> dp1¶

Velocity of the second point

Returns:¶

The relative velocity of the two points

VectorMax3d ipc::point_edge_relative_velocity(
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> dp,
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> de0,
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> de1, const double alpha);¶

Compute the relative velocity of a point and an edge.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> dp¶

Velocity of the point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> de0¶

Velocity of the first endpoint of the edge

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> de1¶

Velocity of the second endpoint of the edge

const double alpha¶

Parametric coordinate of the closest point on the edge

Returns:¶

The relative velocity of the point and the edge

Eigen::Vector3d ipc::edge_edge_relative_velocity(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dea0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dea1,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> deb0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> deb1,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords);¶

Compute the relative velocity of the edges.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dea0¶

Velocity of the first endpoint of the first edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dea1¶

Velocity of the second endpoint of the first edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> deb0¶

Velocity of the first endpoint of the second edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> deb1¶

Velocity of the second endpoint of the second edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords¶

Two parametric coordinates of the closest points on the edges

Returns:¶

The relative velocity of the edges

Eigen::Vector3d ipc::point_triangle_relative_velocity(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dp,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dt0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dt1,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dt2,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords);¶

Compute the relative velocity of the point to the triangle.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dp¶

Velocity of the point

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dt0¶

Velocity of the first vertex of the triangle

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dt1¶

Velocity of the second vertex of the triangle

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> dt2¶

Velocity of the third vertex of the triangle

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords¶

Baricentric coordinates of the closest point on the triangle

Returns:¶

The relative velocity of the point to the triangle

Relative Velocity as Multiplier Matricies¶

MatrixMax<double, 3, 6> ipc::point_point_relative_velocity_jacobian(
    const int dim);¶

Compute du/dx where u is the relative velocity of two points.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

Returns:¶

The relative velocity Jacobian du/dx

MatrixMax<double, 3, 9> ipc::point_edge_relative_velocity_jacobian(
    const int dim, const double alpha);¶

Compute du/dx where u is the relative velocity of a point and an edge.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

const double alpha¶

Parametric coordinate of the closest point on the edge

Returns:¶

The relative velocity Jacobian du/dx

Eigen::Matrix<double, 3, 12>
ipc::edge_edge_relative_velocity_jacobian(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords);¶

Compute du/dx where u is the relative velocity of two edges.

Parameters:¶

dim

Dimension (2 or 3)

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords¶

Two parametric coordinates of the closest points on the edges

Returns:¶

The relative velocity Jacobian du/dx

Eigen::Matrix<double, 3, 12>
ipc::point_triangle_relative_velocity_jacobian(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords);¶

Compute du/dx where u is the relative velocity of a point and a triangle.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords¶

Barycentric coordinates of the closest point on the triangle

Returns:¶

The relative velocity Jacobian du/dx

Relative Velocity Matrix Jacobians¶

VectorMax<double, 18> ipc::point_point_relative_velocity_dx_dbeta(
    const int dim);¶

Compute d²u/dxdβ where u is the relative velocity of two points.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

Returns:¶

The vectorized tensor of d²u/dxdβ

VectorMax<double, 27> ipc::point_edge_relative_velocity_dx_dbeta(
    const int dim, const double alpha);¶

Compute d²u/dxdα where u is the relative velocity of a point and an edge.

Parameters:¶

const int dim¶

Dimension (2 or 3)

const double alpha¶

Parametric coordinate of the closest point on the edge

Returns:¶

The vectorized tensor of d²u/dxdα

Eigen::Matrix<double, 36, 2>
ipc::edge_edge_relative_velocity_dx_dbeta(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords);¶

Compute d²u/dxdβ where u is the relative velocity of two edges.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords¶

Two parametric coordinates of the closest points on the edges

Returns:¶

The vectorized tensor of d²u/dxdβ

Eigen::Matrix<double, 36, 2>
ipc::point_triangle_relative_velocity_dx_dbeta(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords);¶

Compute d²u/dxdβ where u is the relative velocity of a point and a triangle.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector2d> coords¶

Baricentric coordinates of the closest point on the triangle

Returns:¶

The vectorized tensor of d²u/dxdβ

Closet Points¶

double ipc::point_edge_closest_point(Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p,
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e0,
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e1);¶

Compute the baricentric coordinate of the closest point on the edge.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p¶

Point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e0¶

First edge point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e1¶

Second edge point

Returns:¶

barycentric coordinates of the closest point

Eigen::Vector2d ipc::edge_edge_closest_point(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea1,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb1);¶

Compute the barycentric coordinates of the closest points between two edges.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea0¶

First point of the first edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea1¶

Second point of the first edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb0¶

First point of the second edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb1¶

Second point of the second edge

Returns:¶

Barycentric coordinates of the closest points

Eigen::Vector2d ipc::point_triangle_closest_point(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> p,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t1,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t2);¶

Compute the barycentric coordinates of the closest point on the triangle.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> p¶

Point

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t0¶

Triangle’s first vertex

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t1¶

Triangle’s second vertex

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t2¶

Triangle’s third vertex

Returns:¶

Barycentric coordinates of the closest point

Closet Points Jacobians¶

VectorMax9d ipc::point_edge_closest_point_jacobian(
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p, Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e0,
    Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e1);¶

Compute the Jacobian of the closest point on the edge.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> p¶

Point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e0¶

First edge point

Eigen::ConstRef<VectorMax3d> e1¶

Second edge point

Returns:¶

Jacobian of the closest point

Eigen::Matrix<double, 2, 12> ipc::edge_edge_closest_point_jacobian(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea1,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb1);¶

Compute the Jacobian of the closest points between two edges.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea0¶

First point of the first edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> ea1¶

Second point of the first edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb0¶

First point of the second edge

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> eb1¶

Second point of the second edge

Returns:¶

Jacobian of the closest points

Eigen::Matrix<double, 2, 12>
ipc::point_triangle_closest_point_jacobian(
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> p,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t0,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t1,
    Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t2);¶

Compute the Jacobian of the closest point on the triangle.

Parameters:¶

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> p¶

Point

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t0¶

Triangle’s first vertex

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t1¶

Triangle’s second vertex

Eigen::ConstRef<Eigen::Vector3d> t2¶

Triangle’s third vertex

Returns:¶

Jacobian of the closest point